Para integrar a opção do Facebook Messenger ao seu widget de chat, você deve ser o gerente e administrador de uma página do Facebook. Não é possível vincular uma conta pessoal do Facebook.
Se ao clicar em "Conectar com o Facebook" nada acontecer, é provável que o seu perfil do Facebook não esteja vinculado a nenhuma página do Facebook e você terá que continuar a criar um. Para fazer isso, você pode seguir este guia.