Para integrar la opción de Facebook Messenger con tu widget de chat, debes ser el administrador y administrador de una página de Facebook. No es posible vincular una cuenta personal de Facebook.
Si al hacer clic en "Conectar con Facebook" no pasa nada, es probable que tu perfil de Facebook no esta vinculado a ninguna página de Facebook y tendrá que proceder a crear una. Para ello, puedes seguir esta guía.